Question

1．已知橢圓M：x²+2y²=2．
（Ⅰ）求M的離心率及長軸長；
（Ⅱ）設(shè)過橢圓M的上頂點A的直線l與橢圓M的另一個交點為B，線段AB的垂直平分線交橢圓M于C，D兩點．問：是否存在直線l使得C，O，D三點共線（O為坐標原點）？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知橢圓M的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可知：$a=\sqrt{2}$，b=1．c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，即可得出離心率與長軸長．
（II）若C，O，D三點共線，CD是線段AB的垂直平分線，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），設(shè)B（x₀，y₀），${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=1．與${x}_{0}^{2}+2{y}_{0}^{2}$=2，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知橢圓M的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，可知：$a=\sqrt{2}$，b=1．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2a=2$\sqrt{2}$．
（II）若C，O，D三點共線，CD是線段AB的垂直平分線，
可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），設(shè)B（x₀，y₀），∴${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=1．
又${x}_{0}^{2}+2{y}_{0}^{2}$=2，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=1}\\{{x}_{0}^{2}+2{y}_{0}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=1}\end{array}\right.$（舍去）．
當取點B（0，-1）時，直線l的方程為x=0，滿足條件．
∴存在直線l使得C，O，D三點共線（O為坐標原點），直線l的方程為：x=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．