Question

3．某大學(xué)的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組，在對(duì)大學(xué)生的良好“光盤習(xí)慣”的調(diào)査中，隨機(jī)發(fā)放了l20份問(wèn)巻．對(duì)收回的l00份有效問(wèn)卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2x2列聯(lián)表：

	做不到光盤	能做到光盤	合計(jì)
男	45	10	55
女	30	15	45
合計(jì)	75	25	100

（1）現(xiàn)已按是否能做到光盤分層從45份女生問(wèn)卷中抽取了9份問(wèn)卷，若從這9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取4份，并記其中能做到光盤的問(wèn)卷的份數(shù)為ξ，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望
（2）如果認(rèn)為良好“光盤習(xí)慣”與性別有關(guān)犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P，那么根據(jù)臨界值表最精確的P的值應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
附：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d，
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表：

P（K2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	1.323	2.072	2.706	3.840	5.024

Answer 1

分析 （1）因?yàn)?份女生問(wèn)卷是用分層抽樣取到的，所以這9份問(wèn)卷中有6份做不到光盤，3份能做到光盤．因?yàn)棣伪硎緩倪@9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取的4份中能做到光盤的問(wèn)卷份數(shù)，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相應(yīng)的概率，可得隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）計(jì)算K²=$\frac{100×（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$≈3.03，可得結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)?份女生問(wèn)卷是用分層抽樣方法取得的，
所以9份問(wèn)卷中有6份做不到光盤，3份能做到光盤．                     …（2分）
因?yàn)棣伪硎緩倪@9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽出的4份中能做到光盤的問(wèn)卷份數(shù)，
所以ξ有0，1，2，3的可能取值，又9份問(wèn)卷中每份被取到的機(jī)會(huì)均等，
所以隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布，可得到隨機(jī)變量的分布列為：$P（ξ=0）=\frac{C_6^4}{C_9^4}=\frac{5}{42}$$P（ξ=1）=\frac{C_6^3C_3^1}{C_9^4}=\frac{10}{21}$$P（ξ=2）=\frac{C_6^2C_3^2}{C_9^4}=\frac{5}{14}$$P（ξ=3）=\frac{C_6^1C_3^3}{C_9^4}=\frac{1}{21}$
隨機(jī)變量的分布列可列表如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

…（6分）
所以Eξ=0×$\frac{5}{42}$+1×$\frac{10}{21}$+2×$\frac{5}{14}$+3×$\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$   …（8分）
（2）K²=$\frac{100×（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$≈3.03…（10分）
因?yàn)?.706＜3.03＜3.840，
所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為良好“光盤習(xí)慣”與性別有關(guān)，
即精確的值應(yīng)為0.10…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，知識(shí)綜合．