已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),試比較與1的大;
(Ⅲ)求證:.
(Ⅰ)或
(Ⅱ)①當(dāng)時(shí),,即;
②當(dāng)時(shí),,即;
③當(dāng)時(shí),,即.
(Ⅲ)見解析
【解析】(I)當(dāng)時(shí),g(x)=f(x)-k有一個(gè)零點(diǎn),實(shí)質(zhì)是y=f(x)與直線y=k有一個(gè)公共點(diǎn),所以利用導(dǎo)數(shù)研究y=f(x)的單調(diào)性,極值,最值,作出圖像可求出k的取值范圍.
(II)當(dāng)a=2時(shí),令,然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間及最值,然后再分類討論f(x)與1的大小關(guān)系.
(III)解本小題的關(guān)鍵是根據(jù)(2)的結(jié)論,當(dāng)時(shí),,即.
令,則有,從而得,問題得解.
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,定義域是,
, 令,得或. …2分
當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,
函數(shù)在、上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. ……………4分
的極大值是,極小值是.
當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),,
當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),的取值范圍是或.……………5分
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102511550635937725/SYS201210251156285000356579_DA.files/image049.png">.
令,
, 在上是增函數(shù). ………7分
①當(dāng)時(shí),,即;
②當(dāng)時(shí),,即;
③當(dāng)時(shí),,即.……………9分
(Ⅲ)(法一)根據(jù)(2)的結(jié)論,當(dāng)時(shí),,即.
令,則有,
. ……………12分
, . ……………14分
(法二)當(dāng)時(shí),.
,,即時(shí)命題成立.…………………10分
設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即 .
時(shí),.
根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)論,當(dāng)時(shí),,即.
令,則有,
則有,即時(shí)命題也成立.……………13分
因此,由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立.……………………14分
(法三)如圖,根據(jù)定積分的定義,
得.……11分
,
.……………………12分
,
又,,
.
.………………14分
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