Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0），D（0，4），設(shè)△AOB的外接圓圓心為E．
（1）問(wèn)圓心E到直線CD的距離是否為定值，若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由；
（2）問(wèn)當(dāng)a取何值時(shí)，圓E與直線CD相切，并求出此時(shí)⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）圓心E到直線CD的距離為定值，理由為：由C和D的坐標(biāo)，求出直線DC的方程，再由E為直角三角形AOB的外心，可得E為線段AB的中點(diǎn)，由A和B的坐標(biāo)表示出中點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心E到直線CD的距離d，進(jìn)而得到d為定值；
（2）令（1）得出的E到直線CD的距離d=r，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，從而確定出圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）圓心E到直線CD的距離為定值，理由為：
∵C（-4，0），D（0，4），
∴直線CD為y=x+4，又直角三角形的外接圓的圓心E（

a

2

，

a

2

），
由題意得d=

4

2

=2

2

為定值；
（2）∵圓心E到直線CD距離為2

2

為定值，
∴只須圓E半徑

2 a

2

=2

2

，解得a=4，
此時(shí)，⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-2）²=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．