Question

已知數列{a_n}，a₁=a，且a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
（1）若a₁，a₂，a₃成等差數列，求實數a的值；
（2）數列{a_n}為等比數列，求出a，并加以證明．

Answer 1

考點：等比數列的性質,等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a等差數列，知2（-2a+4）=a+4a，由此能求出實數a的值．
（2）因為a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），所以

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，故{

an

2n

-

1

2

}是以

a

2

-

1

2

為首項，-1為公比的等比數列，由此能求出數列{a_n}能為等比數列的充要條件．

解答： 解：（1）a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴2（-2a+4）=a+4a，
∴a=

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；
（2）∵a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，
∴

an+1

2n+1

-

1

2

=-（

an

2n

-

1

2

），
故{

an

2n

-

1

2

}是以

a

2

-

1

2

為首項，-1為公比的等比數列，
∴

an

2n

-

1

2

=（

a

2

-

1

2

）•（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ[

1

2

+（

a

2

-

1

2

）•（-1）^n-1]，
∴

an+1

an

=2•

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1

，
∴{a_n}為等比數列

an+1

an

為常數，
∴當且僅當a=1時，

an+1

an

=2為常數．

點評：本題考查等差數列和等比數列的性質及其應用，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．