Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+lnx（a∈R）
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x-y=0垂直，試分析方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若x＞1，求證：4-8ln2+8ln（1+

1

x

）＜（1+

1

x

）²＜8ln（1+

1

x

）+1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義k=f′（1）計(jì)算出a，再利用數(shù)形結(jié)合解題．
（2）由函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為：f′（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，再由參數(shù)分離得到a≥-

1

x2

，x∈[1，2]，再進(jìn)一步求解．
（3）

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

ax²+lnx（x∈R），
∴f′(x)=ax+

1

x

，x＞0，
∴f′ (1)=a+1，
∵曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x-y=0垂直，
∴a+1=-1，解得a=-2．
∴f（x）=-x²+lnx，
在同一坐標(biāo)系中，分別作出y=-x²和y=lnx的圖象，
由圖象知f（x）=-x²+lnx=0的解的個(gè)數(shù)只有1個(gè)．
（2）由函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，知f′（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
f′(x)=ax+

1

x

=

ax2+1

x

≥0，分離參數(shù)得，
a≥-

1

x2

在x∈[1，2]上恒成立，
只須a≥(-

1

x2

)max即可，
又-

1

x2

在[1，2]上單調(diào)遞増，∴(-

1

x2

)max=-

1

4

，
∴a≥-

1

4

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

4

，+∞）．
（3）∵x＞1，∴0＜

1

x

＜1，∴1＜1+

1

x

＜2，
令a=-

1

4

，f（x）=-

1

8

x2+lnx，由（2）可知，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
f（1）＜f(1+

1

x

)＜f(2)，-

1

8

＜-

1

8

(1+

1

x

)2+ln(1+

1

x

)＜-

1

2

+ln2，化簡(jiǎn)得，
4-8ln2+8ln(1+

1

x

)＜(1+

1

x

)2＜8ln(1+

1

x

)+1．

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是高考中�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)，在選擇題，填空題以及解答題都有出現(xiàn)，本題中采用的也是經(jīng)�？疾榈闹�識(shí)點(diǎn)和方法，其中參數(shù)分離在使用時(shí)是相對(duì)比較方便的，在第三問(wèn)的處理中，直接利用第二問(wèn)的結(jié)論化簡(jiǎn)即可，很多學(xué)生可能被冗長(zhǎng)的題目嚇到，其實(shí)，只要靜下心來(lái)仔細(xì)分析，這些都是“紙老虎”，不難攻破．