Question

11．已知：命題p：|a-1|＜6；命題q：A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅．求使命題p∨q為真，p∧q為假時實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別化簡命題p、q，由于p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得：p與q必然一真一假．即可得出．

解答 解：對于命題p：由：|a-1|＜6解得-5＜a＜7；
對于q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，且A∩B=∅．
當△＜0時，A=∅，此時△=（a+2）²-4＜0，-4＜a＜0；
當△≥0時，由A∩B=∅得$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-（a+2）＜0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a≥0或a≤-4}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，解得a≥0．
綜上可得，a＞-4；
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，
∴p與q必然一真一假．
當p真q假時，得$\left\{\begin{array}{l}{-5＜a＜7}\\{a≤-4}\end{array}\right.$，解得-5＜a≤-4．
當q真p假時，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞-4}\\{a≥7或a≤-5}\end{array}\right.$，解得a≥7，
綜上-5＜a≤-4或a≥7．
綜上可得：實數a的取值范圍是（-5，-4]∪[7，+∞）．

點評 本題主要考查復合命題之間的關系，求出命題的等價條件，結合復合命題真假之間是關系是解決本題的關鍵．