【題目】已知橢圓M:: + =1(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(﹣1,0),左右頂點(diǎn)分別為A,B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C,D兩點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí),求線段CD的長(zhǎng);
(3)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2 , 求|S1﹣S2|的最大值.
【答案】
(1)解:因?yàn)镕(﹣1,0)為橢圓的焦點(diǎn),所以c=1,又b2=3,
所以a2=4,所以橢圓方程為 =1;
(2)解:因?yàn)橹本的傾斜角為45°,所以直線的斜率為1,
所以直線方程為y=x+1,和橢圓方程聯(lián)立得到
,消掉y,得到7x2+8x﹣8=0,
所以△=288,x1+x2= ,x1x2=﹣ ,
所以|CD|= |x1﹣x2|= × = ;
(3)解:當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí),直線方程為x=﹣1,
此時(shí)D(﹣1, ),C(﹣1,﹣ ),△ABD,△ABC面積相等,|S1﹣S2|=0,
當(dāng)直線l斜率存在(顯然k≠0)時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x+1)(k≠0),
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
和橢圓方程聯(lián)立得到 ,消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,
顯然△>0,方程有根,且x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
此時(shí)|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|
=2|k(x2+x1)+2k|= = ≤ = = ,(k= 時(shí)等號(hào)成立)
所以|S1﹣S2|的最大值為 .
【解析】(1)由焦點(diǎn)F坐標(biāo)可求c值,根據(jù)a,b,c的平方關(guān)系可求得a值;(2)寫(xiě)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立消掉y得關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得|CD|;(3)當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)可得,|S1﹣S2|=0;當(dāng)直線l斜率存在(顯然k≠0)時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x+1)(k≠0),與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程,根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x1+x2 , x1x2 , |S1﹣S2|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1 , x2的式子,進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式,再用基本不等式即可求得其最大值;
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí),掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知y=f(x+1)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2)時(shí),f(x)=log2x,設(shè)a=f( ), ,c=f(1),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a<c<b
B.c<a<b
C.b<c<a
D.c<b<a
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , , , , 為線段上的點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)若是的中點(diǎn),求與平面所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,并且滿足f(x+y)=f(x)+f(y), ,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性;
(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問(wèn)各出幾何?此問(wèn)題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說(shuō):“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說(shuō):“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還升, 升, 升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( )
A. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
B. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
C. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
D. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論在上的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得在上的最大值為,若存在,求滿足條件的的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正四棱錐中,已知異面直線與所成的角為,給出下面三個(gè)命題:
:若,則此四棱錐的側(cè)面積為;
:若分別為的中點(diǎn),則平面;
:若都在球的表面上,則球的表面積是四邊形面積的倍.
在下列命題中,為真命題的是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826.若μ=4,σ=1,則P(5<X<6)=( )
A.0.1359
B.0.1358
C.0.2718
D.0.2716
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別在100場(chǎng)比賽中的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),做出甲的得分頻率分布直方圖如圖所示,列出乙的得分統(tǒng)計(jì)表如表所示:
分值 | [0,10) | [10,20) | [20,30) | [30,40) |
場(chǎng)數(shù) | 10 | 20 | 40 | 30 |
(1)估計(jì)甲在一場(chǎng)比賽中得分大于等于20分的概率.
(2)判斷甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員哪個(gè)成績(jī)更穩(wěn)定.(結(jié)論不要求證明)
(3)試?yán)眉椎念l率分布直方圖估計(jì)甲每場(chǎng)比賽的平均得分.
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