Question

已知T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，A₁B₁交半圓于P，Q兩點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線(xiàn)A₁B₁的方程；               
（Ⅱ）求P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線(xiàn)PT，經(jīng)AB反射后，反射光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)Q．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，可求得A₁，B₁的坐標(biāo)，從而可求直線(xiàn)A₁B₁的方程；
（Ⅱ）半圓O的方程為：x²+y²=1（-1≤y≤0）將y=tx-1代入，化簡(jiǎn)得：（1+t²）x²-2tx=0，從而可求P，Q的坐標(biāo)；
（Ⅲ）kPT=

0+1

t-0

=

1

t

，kQT=

t2-1 1+t2 -0

2t 1+t2 -t

=

t2-1

2t-t-t3

=-

1

t

，從而直線(xiàn)PT，QT的斜率互為相反數(shù)，所以直線(xiàn)PT，QT的傾斜角互補(bǔ)，故得證．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，
∴A₁（1，t-1），B₁（-1，-t-1）
∴直線(xiàn)A₁B₁的方程：

y-t+1

-1-t-t+1

=

x-1

-1-1

∴y=tx-1
（Ⅱ）半圓O的方程為：x²+y²=1（-1≤y≤0）
將y=tx-1代入，化簡(jiǎn)得：（1+t²）x²-2tx=0
∴x=0或x=

2t

1+t2

當(dāng)x=0時(shí)，y=-1；當(dāng)x=

2t

1+t2

時(shí)，y=

t2-1

1+t2

∴P（0，-1），Q(

2t

1+t2

，

t2-1

1+t2

)
（Ⅲ）證明：∵kPT=

0+1

t-0

=

1

t

，kQT=

t2-1 1+t2 -0

2t 1+t2 -t

=

t2-1

2t-t-t3

=-

1

t

∴直線(xiàn)PT，QT的斜率互為相反數(shù)
∴直線(xiàn)PT，QT的傾斜角互補(bǔ)
∴由點(diǎn)P發(fā)出的光線(xiàn)PT，經(jīng)AB反射后，反射光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)Q．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓為載體，考查直線(xiàn)方程，考查直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有綜合性．