Question

如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。

（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；

（Ⅱ）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為？

Answer 1

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．

方法一：

（Ⅰ）證明：過點(diǎn)作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，

又為矩形，

所以，從而四邊形為平行四邊形，

故．

因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/40/189806714010017840/12.gif" width=41 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1168">平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)．

由平面平面，，得

平面，

從而．

所以為二面角的平面角．

在中，因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/40/189806714010017840/32.gif" width=101 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1188">，，所以，．

又因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/40/189806714010017840/36.gif" width=65 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1192">，所以，

從而．

于是．

因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/40/189806714010017840/40.gif" width=145 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1196">，

所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．

方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以平面．

因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/40/189806714010017840/63.gif" width=40 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1220">平面，

所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/40/189806714010017840/69.gif" width=148 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1226">，，

所以，，從而

解得．

所以，．

設(shè)與平面垂直，

則，

解得．

又因?yàn)?IMG align="absmiddle" height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/40/189806714010017840/82.gif" width=39 align=absMiddle v:shapes="_x0000_i1239">平面，，

所以，

得到．

所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為．