Question

已知y=f（x）且lg（lgy）=lgx+lg（4-x）．
（1）求f（x）的定義域及解析式；
（2）求f（x）的值域；
（3）證明：lg（lgy）=lg（lgf（x））．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可得到f（x）的解析式，再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，即可得到定義域；
（2）運(yùn)用二次函數(shù)的值域，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到值域；
（3）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可得證．

解答： 解：（1）lg（lgy）=lgx+lg（4-x），
即lg（lgy）=lgx（4-x），則lgy=x（4-x），
則有y=f（x）=10^x（4-x），
由x＞0，4-x＞0得0＜x＜4．
則f（x）=10^x（4-x），定義域?yàn)椋?，4）；
（2）由于0＜x（4-x）=-（x-2）²+4≤4，
則10⁰＜f（x）≤10⁴，
則值域?yàn)椋?，10⁴]；
（3）證明：lg（lgf（x））=lg（lg10x（4-x））
=lg[x（4-x）]=lgx+lg（4-x），
lg（lgy）=lgx+lg（4-x），
則有l(wèi)g（lgy）=lg（lgf（x））．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式和定義域的求法，以及值域的求法，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．