Question

7．求下列各曲線的標準方程
（1）長軸長為12，離心率為$\frac{2}{3}$，焦點在x軸上的橢圓；
（2）過點A$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{3}）$和 B$（\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1）$的橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 （1）題目明確了要求橢圓的焦點在x軸上，可以設其標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞＞0），結(jié)合題意可得長軸長2a為12，則a=6，再由離心率公式可得c的值，計算可得b的值，將a、b的值代入橢圓的標準方程可得答案；
（2）根據(jù)題意，設設要求橢圓的標準方程為：mx²+ny²=1，（m、n＞0），結(jié)合題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}m+3n=1}\\{\frac{8}{9}m+n=1}\end{array}\right.$，解可得m、n的值，將其代入橢圓的方程可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，要求橢圓的焦點在x軸上，可以設其標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞＞0），
又由題意，其長軸長為12，即2a=12，則a=6，
其離心率為$\frac{2}{3}$，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，則c=4，
故b²=a²-c²=20，
故橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1；
（2）根據(jù)題意，設要求橢圓的標準方程為：mx²+ny²=1，（m、n＞0）
橢圓過點A$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{3}）$和 B$（\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1）$，
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}m+3n=1}\\{\frac{8}{9}m+n=1}\end{array}\right.$，
解可得m=1，n=$\frac{1}{9}$，
故要求橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，可以依據(jù)題意，設出橢圓的標準方程，然后用待定系數(shù)法進行求解．