Question

已知函數(shù)f（x）=

3-ax

a-1

（a≠1）．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a=2代入，根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式可得f（x）的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)y=f（x）與y=

f(x)

單調(diào)性相同，y=f（x）與y=kf（x）（k＞0）單調(diào)性相同，y=f（x）與y=kf（x）（k＜0）單調(diào)性相反，分a＞1時(shí)，0＜a＜1時(shí)，a＜0時(shí)，三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，
若使函數(shù)f（x）=

3-2x

2-1

的解析式有意義．
自變量x須滿足：
3-2x≥0
解得：x≤

3

2

故a=2時(shí)，f（x）的定義域?yàn)?span id="b3xfh3h" class="MathJye">(-∞，

3

2

]…（3分）
（II）當(dāng)a＞1時(shí)，若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
則3-ax≥0恒成立
即3-a≥0
∴1＜a≤3；…（6分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a-1＜0
函數(shù)y=

3-ax

為減函數(shù)，
f（x）=

3-ax

a-1

為增函數(shù)，不合題意；…（8分）
當(dāng)a＜0時(shí)，a-1＜0
函數(shù)y=

3-ax

為增函數(shù)，
f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)…（11分）
綜上可得a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，3]…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的定義域及求法，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．