Question

7．在△ABC中，已知tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，給出以下四個論斷：
①$\frac{tanA}{tanB}$=1； ②1＜sinA+sinB≤$\sqrt{3}$；③sin²A+cos²B=1；④cos²A+cos²B=sin²C
其中正確的序號是④．

Answer 1

分析 已知式子變形可得A+B=90°，逐個選項判定即可．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}$=sinC
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos（A+B）=0，∴A+B=90°．
∴$\frac{tanA}{tanB}$=tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正確．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°）
∵45°＜A+45°＜135°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，②不正確；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1，不一定成立，故③不正確．
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
∴cos²A+cos²B=sin²C，④正確．
綜上知④正確
故答案為：④

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，命題的真假的判斷，屬基礎(chǔ)題．