Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè) ，若函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè) ，對任意，有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)或.(2).

【解析】分析：（1）先求出，再求出，再利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和零點,得到a的取值范圍.(2)先把命題轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值代入可得實數(shù)的取值范圍.

詳解：（1）函數(shù)的定義域為，∴.

①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，

取，則，

（或：因為且時，所以 .）因為，所以，此時函數(shù)有一個零點.

②當(dāng)時，令，解得.當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.

要使函數(shù)有一個零點，則，即，.

綜上所述，若函數(shù)恰有一個零點，則或.

（2）因為對任意，有成立，

因為 ，所以.

所以，所以.

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

∵與，所以.

設(shè) ，

則，

所以在上單調(diào)遞增，故，

所以.從而.

所以即,

設(shè)，則.當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增.又，

所以，即，解得.因為，

所以的取值范圍為.