Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中點，求證：
（1）B，C，H，G四點共面；
（2）平面EFA₁∥平面BCHG．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明GH∥B₁C₁，從而可得GH∥BC，即可證明B，C，H，G四點共面；
（2）證明平面EFA₁中有兩條直線A₁E、EF分別與平面BCHG中的兩條直線BG、BC平行，即可得到平面EFA₁∥平面BCHG．

解答：證明：（1）∵G、H分別為A₁B₁，A₁C₁中點，∴GH∥B₁C₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，
∴GH∥BC
∴B、C、H、G四點共面；
（2）∵E、F分別為AB、AC中點，
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B₁C₁∥GH
又∵E、G分別為三棱柱側(cè)面平行四邊形AA₁B₁B對邊AB、A₁B₁中點，
∴四邊形A1EBG為平行四邊形，A₁E∥BG
∴平面EFA₁中有兩條直線A₁E、EF分別與平面BCHG中的兩條直線BG、BC平行
∴平面EFA₁∥平面BCHG．

點評：本題考查平面的基本性質(zhì)，考查面面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．