Question

【題目】已知函數(shù)

（1）證明:函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點，且；

（2）證明:函數(shù)于有且僅有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由導數(shù)的應用，先求函數(shù)的導函數(shù)，再研究導函數(shù)的正負號即可，

因為為增函數(shù)，因為，，由零點定理運算可得存在唯一的使得，即可得證；

（2）由特值法可得是函數(shù)的一個零點，

再討論當時，由指數(shù)函數(shù)的值域及三角函數(shù)的有界性可得函數(shù)沒有零點；然后討論時，結合（1）及零點定理可得在區(qū)間上有且僅有一個零點，在無零點，綜上即可得證.

證明：（1）由.

令，

當時，函數(shù)為增函數(shù)，指數(shù)函數(shù)也為增函數(shù)，

故當時，函數(shù)為增函數(shù).

又因為，可得，

有，

，

故存在唯一的使得.

所以當時，，即；

當時，，即，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一的極小值點，且

（2）①由，可得是函數(shù)的一個零點；

②當時，，，可得，此時函數(shù)沒有零點；

③當時，由，

由（1）知，，可得函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，在無零點，

綜上，函數(shù)有且僅有兩個零點.