Question

【題目】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ， 且滿足2Sn=an2+an ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列bn= + ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求證：Tn＜2n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ，兩式相減得， ，

∴ ，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

又∵數(shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，∴an﹣an﹣1=1．因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

又n=1時(shí)， ，∴a1=1，an=1+n﹣1=n

（2）解：證明：由（1）知 ，又 ，

∴

∴

【解析】（1）利用遞推關(guān)系可得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，又?jǐn)?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，可得an﹣an﹣1=1．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由（1）知： ，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．