已知f(x)=sin2(x-
π
6
)+sin2(x+
π
6
)+
3
sinxcosx．
（1）求f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)自變量x的取值構(gòu)成的集合；
（2）當(dāng)自變量x∈[-
π
12
，
5π
12
]時(shí)，求f（x）的值域．
分析：（1）利用二倍角公式，兩角和及差的正弦及余弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為sin(2x-
π
6
)+1，然后求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（2）根據(jù)x的范圍確定2x-
π
6
的范圍，進(jìn)而利用正弦定理的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，求得函數(shù)的值域．
解答：解：f(x)=
1-cos(2x-
π
3
)
2
+
1-cos(2x+
π
3
)
2
+
3
2
sin2x
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x+1
=sin(2x-
π
6
)+1．                      …（6分）
（1）f（x）max=2，
當(dāng)2x-
π
6
=2kπ+
π
2
（k∈Z），即x=kπ+
π
3
（k∈Z）．
故f（x）取得最大值時(shí)自變量x的取值構(gòu)成的集合是{x|x=kπ+
π
3
，k∈Z}．…（10分）
（2）因?yàn)?span id="aqmagki" class="MathJye">x∈[-
π
12
，
5π
12
]，所以2x-
π
6
∈[-
π
3
，
2π
3
]，…（12分）
所以sin(2x-
π
6
)∈[-
3
2
，1]，
所以f（x）的值域?yàn)?span id="iyywq8w" class="MathJye">[-
3
2
+1，2]．                     …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值、正弦函數(shù)的定義域和值域的求法，考查計(jì)算能力，基本知識(shí)掌握的熟練程度，高考�？碱}型．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=sin(2x-
π
6
)-2m在x∈[0，
π
2
]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（　�。�
A、(
1
4
，
1
2
)
B、[
1
4
，
1
2
]
C、[
1
4
，
1
2
）
D、（
1
4
，
1
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=sin(x+
π
2
)，g(x)=cos(x-
π
2
)，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�
A、函數(shù)y=f（x）•g（x）的周期為2
B、函數(shù)y=f（x）•g（x）的最大值為1
C、將f（x）的圖象向左平移
π
2
個(gè)單位后得到g（x）的圖象
D、將f（x）的圖象向右平移
π
2
個(gè)單位后得到g（x）的圖象

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
sinπx(x≥0)
f(x+1)-1(x＜0)
，若f(-
5
6
)+f(m)=-1，且1＜m＜2，則m=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=sin[
π
3
(x+1)]-
3
cos[
π
3
(x+1)]，則f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=sin(2x+
π
6
)+cos(2x-
π
3
)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（C）=1，c=2
3
，sinA=2sinB，求△ABC的面積．

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