已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3,問(wèn):是否存在常數(shù)(t≥0)t,當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t.
分析:由已知中二次函數(shù)的解析式為f(x)=x2-16x+q+3,我們可得x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域可能為[f(8),f(t)],或[f(8),f(10)],或[f(t),f(10)],然后根據(jù)值域的長(zhǎng)度為12-t.構(gòu)造方程,解方程即可得到答案.
解答:解:當(dāng)
t<8
8-t≥10-8
t≥0
時(shí),即0≤t≤6時(shí),f(x)的值域?yàn)椋篬f(8),f(t)],
即[q-61,t2-16t+q+3]
∴t2-16t+q+3-(q-61)=t2-16t+64=12-t
即t2-15t+52=0
∴t=
15±
17
2
,經(jīng)檢驗(yàn)t=
15+
17
2
不合題意,舍去.
當(dāng)
t<8
8-t<10-8
t≥0
時(shí),即6≤t<8時(shí),f(x)的值域?yàn)椋篬f(8),f(10)],即[q-61,q-57]
∴q-57-(q-61)=4=12-t
∴t=8
經(jīng)檢驗(yàn)t=8不合題意,舍去
當(dāng)t≥8時(shí),f(x)的值域?yàn)椋篬f(t),f(10)],即[t2-16t+q+3,q-57]
∴q-57-(t2-16t+q+3)=-(t2-16t+60)=12-t
∴t2-17t+72=0
∴t=8或t=9
經(jīng)檢驗(yàn)t=
15-
17
2
或8或t=9滿(mǎn)足題意,
所以存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì),其中根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域,分類(lèi)討論t取不同值時(shí),函數(shù)f(x)的值域,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿(mǎn)足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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