Question

13．有甲乙兩種產(chǎn)品，經(jīng)銷這兩種商品所能獲得的利潤分別是p萬元和q萬元，它們與投入資金x（萬元）的關(guān)系式為P=$\frac{1}{5}$x，Q=$\frac{3}{5}$$\sqrt{x}$．今有3萬元資金投入這兩種商品．
（1）求：經(jīng)銷兩種商品所獲得的總利潤y的函數(shù)關(guān)系式．
（2）為獲得最大利潤，對這兩種商品的資金分別投入多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）利用“總利潤=$\frac{1}{5}$•甲商品的投入+$\frac{3}{5}$•$\sqrt{乙商品的投入}$”即可列出表達(dá)式；
（2）通過換元，令t=$\sqrt{3-x}$（0≤t≤$\sqrt{3}$），通過配方可知y=-$\frac{1}{5}$$（t-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{21}{20}$，進(jìn)而計算可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)對甲種商品投資x萬元，獲總利潤為y萬元，
則對乙種商品的投資為（3-x）萬元，
∴y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{3}{5}$•$\sqrt{3-x}$ （0≤x≤3）；
（2）令t=$\sqrt{3-x}$（0≤t≤$\sqrt{3}$），則x=3-t²，
∴y=$\frac{1}{5}$（3-t²）+$\frac{3}{5}$t=-$\frac{1}{5}$$（t-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{21}{20}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，y_max=$\frac{21}{20}$=1.05（萬元）；
由t=$\sqrt{3-x}$=$\frac{3}{2}$可求得x=0.75（萬元）、3-x=2.25（萬元），
∴為了獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別為0.75萬元和2.25萬元，
此時獲得最高利潤1.05萬元．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．