Question

已知數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥3）具有性質(zhì)P；對(duì)任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：
①數(shù)列0，2，4，6具有性質(zhì)P；
②若數(shù)列A具有性質(zhì)P，則a₁=0；
③若數(shù)列A具有性質(zhì)P且a₁≠0a_n-a_n-k=a_k（k=1，2，…，（n-1）；
④若數(shù)列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性質(zhì)P，則a₃=a₁+a₂
其中真命題有（ ）
A．4個(gè)
B．3個(gè)
C．2個(gè)
D．1個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)數(shù)列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3時(shí)具有性質(zhì)P，對(duì)任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，逐一驗(yàn)證，可知②錯(cuò)誤，其余都正確．
解答：解：①數(shù)列0，2，4，6中，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i＜j≤3）兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項(xiàng)，
并且a₄-a₃=2是該數(shù)列中的項(xiàng)，故①正確；
②由題設(shè)知：1，2，3具有性質(zhì)P，但a₁=1≠0；故②不正確；
③若數(shù)列A具有性質(zhì)P，且a₁≠0，
則a_n+a_n-k和a_n-a_n-k中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，
∵a_n+a_n-k不一定是該數(shù)列中的項(xiàng)，
∴a_n-a_n-k（k=1，2，…，n-1）一定在該數(shù)列中，
∴a_n-a_n-k=a_k；故③正確．
④∵數(shù)列a₁，a₂，a₃具有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃，
∴a₁+a₃與a₃-a₁至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，
1°若a₁+a₃是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則a₁+a₃=a₃，
∴a₁=0，易知a₂+a₃不是該數(shù)列的項(xiàng)
∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂．
2°若a₃-a₁是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則a₃-a₁=a₁或a₂或a₃，
i若a₃-a₁=a₃同1°，
ii若a₃-a₁=a₂，則a₃=a₂，與a₂＜a₃矛盾，
iiia₃-a₁=a₁，則a₃=2a₁，
綜上a₁+a₃=2a₂．故④正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道新型的探索性問題，認(rèn)真理解題目所給的條件后解決問題，通過解決探索性問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力．