Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當x∈（-3，2）時，f（x）＞0，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0
（1）求a、b的值；
（2）若（c-1）x²+bx+a≤0的解集為R，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由條件x∈（-3，2）時，f（x）＞0，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0，可以x=2和x=-3是方程的兩個根，利用代入即可求a，b．
（2）利用不等式（c-1）x²+bx+a≤0的解集為R，得到系數(shù)c-1＜0且判別式≤0，同時要注意c-1=0是否成立．

解答： 解：（1）∵函數(shù)x∈（-3，2）時，f（x）＞0，當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0，
∴x=2或x=-3是對應方程f（x）=0的兩個根，且a＜0．
即f（2）=0，f（-3）=0，
∴利用根與系數(shù)之間的關系可得

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，即

b-8=a 1+b=6

，解得a=-3，b=5．
（2）由（1）知a=-3，b=5，
∴不等式（c-1）x²+bx+a≤0等價為（c-1）x²+5x-3≤0，
當c=1時，不等式等價為5x-3≤0，此時x≤

3

5

，不滿足條件．
當c≠1時，要使（c-1）x²+5x-3≤0的解集為R，
則有

c-1＜0 △=25-3×4(c-1)≤0

，即

c＜1 c≥- 13 12

，
解得-

13

12

≤c＜1．
即實數(shù)c的取值范圍是-

13

12

≤c＜1．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及一元二次不等式恒成立問題，綜合性較強．