Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0
（1）求a、b的值；
（2）若（c-1）x²+bx+a≤0的解集為R，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0，可以x=2和x=-3是方程的兩個(gè)根，利用代入即可求a，b．
（2）利用不等式（c-1）x²+bx+a≤0的解集為R，得到系數(shù)c-1＜0且判別式≤0，同時(shí)要注意c-1=0是否成立．

解答： 解：（1）∵函數(shù)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0，
∴x=2或x=-3是對(duì)應(yīng)方程f（x）=0的兩個(gè)根，且a＜0．
即f（2）=0，f（-3）=0，
∴利用根與系數(shù)之間的關(guān)系可得

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，即

b-8=a 1+b=6

，解得a=-3，b=5．
（2）由（1）知a=-3，b=5，
∴不等式（c-1）x²+bx+a≤0等價(jià)為（c-1）x²+5x-3≤0，
當(dāng)c=1時(shí)，不等式等價(jià)為5x-3≤0，此時(shí)x≤

3

5

，不滿足條件．
當(dāng)c≠1時(shí)，要使（c-1）x²+5x-3≤0的解集為R，
則有

c-1＜0 △=25-3×4(c-1)≤0

，即

c＜1 c≥- 13 12

，
解得-

13

12

≤c＜1．
即實(shí)數(shù)c的取值范圍是-

13

12

≤c＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及一元二次不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)．