Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)是橢圓的左焦點，A、B是橢圓的左、右頂點，點P是橢圓上的動點，其中
|PF|的最小值是2-

2

，△PFA的面積最大值是

2

-1．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過點Q（1，0）的直線l與橢圓C相交于D、E兩點，又點M（4，3），記直線MD、ME的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)k₁•k₂最大時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由|PF|的最小值是2-

2

，可得a-c=2-

2

．由△PFA的面積最大值是

2

-1．可得

1

2

(a-c)•b=

2

-1，及b²=a²-c²聯(lián)立即可解出．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式可得k₁•k₂=

5

6

+

6k-1

18k2+12

，當(dāng)k≤

1

6

時，k₁•k₂≤

5

6

．當(dāng)k＞

1

6

時，k₁•k₂=

5

6

+

1

3(k- 1 6 + 25 36 k- 1 6 + 1 3 )

，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最大值．當(dāng)直線l的斜率不存在時，把x=1代入橢圓的方程可得

1

4

+

y2

2

=1，解得y=±

6

2

．利用斜率計算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵|PF|的最小值是2-

2

，∴a-c=2-

2

，
∵△PFA的面積最大值是

2

-1．
∴

1

2

(a-c)•b=

2

-1，
∴

2- 2

2

•b=

2

-1，解得b=

2

．
聯(lián)立

a-c=2- 2 ( 2 )2=a2-c2

，解得

a=2 c= 2

．
∴該橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2+2y2=4

，化為（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-4

1+2k2

．
k₁•k₂=

3-y1

4-x1

•

3-y2

4-x2

=

9-3(y1+y2)+y1y2

16-4(x1+x2)+x1x2

=

9-3k(x1+x2-2)+k2(x1x2-(x1+x2)+1)

16-4(x1+x2)+x1x2

=

9-3k( 4k2 1+2k2 -2)+k2( 2k2-4 1+2k2 - 4k2 1+2k2 +1)

16- 16k2 1+2k2 + 2k2-4 1+2k2

=

5k2+2k+3

4+6k2

=

5

6

+

6k-1

18k2+12

，
當(dāng)k≤

1

6

時，k₁•k₂≤

5

6

．
當(dāng)k＞

1

6

時，∴k₁•k₂=

5

6

+

1

3(k- 1 6 + 25 36 k- 1 6 + 1 3 )

≤

5

6

+

1

3( 5 3 + 1 3 )

=1，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號，
∴此時k₁•k₂取得最大值1．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，把x=1代入橢圓的方程可得

1

4

+

y2

2

=1，解得y=±

6

2

．
∴k₁•k₂=

3- 6 2

4-1

×

3+ 6 2

4-1

=

5

6

．
綜上可得：當(dāng)且僅當(dāng)k=1時，k₁•k₂取得最大值1，此時k=1，直線l的方程為：y=x-1．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．