設(shè)函數(shù),在其圖象上一點P(x,y)處的切線的斜率記為f(x).
(1)若方程f(x)=0有兩個實根分別為-2和4,求f(x)的表達(dá)式;
(2)若g(x)在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)遞減函數(shù),求a2+b2的最小值.
【答案】分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f(x)=g'(x),再根據(jù)-2、4是方程f(x)=0的兩個實數(shù),由韋達(dá)定理建立方程組,解之即可;
(2)根據(jù)g(x)在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)減函數(shù),得到函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,3]上恒有f(x)=g'(x)≤0,然后建立關(guān)于a和b的約束條件,而a2+b2可視為平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方,其中點(-2,3)距離原點最近,從而求出a2+b2的最小值.
解答:解:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(x)=g'(x)=x2+ax-b
由已知-2、4是方程x2+ax-b=0的兩個實數(shù)
由韋達(dá)定理,,f(x)=x2-2x-8(7分)
(2)g(x)在區(qū)間[-1,3]上是單調(diào)減函數(shù),
所以在[-1,3]區(qū)間上恒有f(x)=g'(x)=x2+ax-b≤0,即f(x)=x2+ax-b≤0在[-1,3]恒成立
這只需滿足即可,也即
而a2+b2可視為平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方,其中點(-2,3)距離原點最近,
所以當(dāng)時,a2+b2有最小值13.(14分)
點評:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及線性規(guī)劃的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,考查靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•聊城一模)已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx-
π
6
)-4sin2ωx+a,(ω>0)
,其圖象的相鄰兩個最高點之間的距離為π,
(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的最小值為-
3
2
,求函數(shù)f(x),(x∈R)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•棗莊一模)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-2x,g(x)=loga
x(a>0,且a≠1),其中a為常數(shù),如果h(x)=f(x)+g(x)在其定義域上是增函數(shù),且h'(x)存在零點(h'(x)為h(x)的導(dǎo)函數(shù)).
(I)求a的值;
(Ⅱ)設(shè)A(m,g(m)),B(n,g(n))(m<n)是函數(shù)y=g(x)的圖象上兩點,g'(x0)=
g(n)-g(m)
n-m
(g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)),證明:m<x0<n.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•眉山一模)設(shè)函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)為上凸函數(shù). 若函數(shù)f(x)為上凸函數(shù),則對定義域內(nèi)任意x1、x2、x3,…,xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
(當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時等號成立),稱此不等式為琴生不等式,現(xiàn)有下列命題:
①f(x)=lnx(x>0)是上凸函數(shù);
②二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0;
③f(x)是上凸函數(shù),若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)圖象上任意兩點,點C在線段AB上,且
AC
CB
,則f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
;
④設(shè)A,B,C是一個三角形的三個內(nèi)角,則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2

其中,正確命題的序號是
①③④
①③④
(寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)g(x)= (a,b∈R),在其圖象上一點P(x,y)處的切線的斜率記為f(x).

   (1)若方程f(x)=0有兩個實根分別為一2和4,求f(x)的表達(dá)式;

   (2)若g(x)在區(qū)間[一1,3]上是單調(diào)遞減函數(shù),求a2+b2的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使得y0=f(x0)=x0,則稱以(x0,y0)為坐標(biāo)的點為函數(shù)圖象上的不動點.

(1)若函數(shù)f(x)=的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點,求a、b滿足的條件;

(2)在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)f(x)圖象上的兩個不動點分別為A、A′,P為函數(shù)f(x)的圖象上的另一點,且其縱坐標(biāo)yP>3,求點P到直線AA′距離的最小值及取得最小值時點P的坐標(biāo).

(3)命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數(shù)個”是否正確?若正確,試給予證明,并舉出一例;若不正確,試舉一反例說明.

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