Question

（2013•婺城區(qū)模擬）對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的-個“好區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①f（x）=sinx；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=x³-3x；
④f（x）=lgx+l．
其中存在“好區(qū)間”的函數(shù)是

②③④

．  （填入相應(yīng)函數(shù)的序號）

Answer 1

分析：題目給出的是新定義題，定義的“好區(qū)間”是指的如果存在一個區(qū)間M=[a，b]，使得以該區(qū)間為定義域的前提下，函數(shù)的值域也是該區(qū)間．
①對于函數(shù)f（x）=sinx，根據(jù)其在[-

π

2

，

π

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，通過分析方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上僅有一解，在定義域其它范圍內(nèi)無解說明函數(shù)沒有“好區(qū)間”；
②通過分析函數(shù)f（x）=|2^x-1|的圖象，知函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，在該范圍內(nèi)取x∈[0，1]時，對應(yīng)的函數(shù)值的范圍也是[0，1]，說明區(qū)間[0，1]是函數(shù)的一個好區(qū)間；
③通過對已知函數(shù)求導(dǎo)，分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，找到極大值點和極小值點，并求出極大值b和極小值a，而求得的
f（a）與f（b）在[a，b]范圍內(nèi)，所以[a，b]為該函數(shù)的一個“好區(qū)間”；
④根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)若有“好區(qū)間”，則方程f（x）=x應(yīng)有兩根，利用函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合根的存在性定理判斷即可．

解答：解：①函數(shù)f（x）=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，若函數(shù)在[-

π

2

，

π

2

]上存在“好區(qū)間”[a，b]，
則必有sina=a，sinb=b．
即方程sinx=x有兩個根，令g（x）=sinx-x，g^′（x）=cosx-1≤0在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，
所以函數(shù)g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上為減函數(shù)，則函數(shù)g（x）=sinx-x在[-

π

2

，

π

2

]上至多有一個零點，
即方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上不可能有兩個解，又因為f（x）的值域為[-1，1]，所以當(dāng)x＜-

π

2

或x＞

π

2

時，
方程sinx=x無解．
所以函數(shù)f（x）=sinx沒有“好區(qū)間”；
②對于函數(shù)f（x）=|2^x-1|，該函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]時，
f（x）∈[0，1]=M，所以M=[0，1]為函數(shù)f（x）=|2^x-1|的一個“好區(qū)間”；
③對于函數(shù)f（x）=x³-3x，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
當(dāng)x∈（-1，1）時，f^′（x）0．
所以函數(shù)f（x）=x³-3x的增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間是（-1，1）．
取M=[-2，2]，此時f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
所以函數(shù)f（x）=x³-3x在M=[-2，2]上的值域也為[-2，2]，則M=[-2，2]為函數(shù)的一個“好區(qū)間”；
④函數(shù)f（x）=lgx+1在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，若有“好區(qū)間”
則lga+1=a，lgb+1=b，也就是函數(shù)g（x）=lgx-x+1有兩個零點．
顯然x=1是函數(shù)的一個零點，
由g′(x)=

1

xln10

-1＜0，得x＞

1

ln10

，函數(shù)g（x）在(

1

ln10

，+∞)上為減函數(shù)；
g′(x)=

1

xln10

＞0，得x＜

1

ln10

．函數(shù)在（0，

1

ln10

）上為增函數(shù)．
所以g（x）的最大值為g（

1

ln10

）＞g（1）=0，
則該函數(shù)g（x）在（0，

1

ln10

）上還有一個零點．
所以函數(shù)f（x）=lgx+1存在“好區(qū)間”．
故答案為②③④．

點評：本題是新定義題，考查了函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，此題中單調(diào)函數(shù)存在好區(qū)間的條件是f（x）=x，正確理解“好區(qū)間”的定義是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．