Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值．
（2）在（1）的條件下，求證：f（x）≥-

x3

3

+

5x2

2

-4x+

11

6

；
（3）當(dāng)x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可得f′（1）=0，即可求a的值．
（2）構(gòu)造g（x）=f（x）-（-

x3

3

+

5x2

2

-4x+

11

6

），可知g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，即可證明結(jié)論；
（3）當(dāng)x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，等價(jià)于a≤

x2

x+lnx

在x∈[e，+∞）時(shí)恒成立，求最值，即可求a的取值范圍．

解答： （1）解：f′(x)=2x-a-

a

x

，由題意可得f′（1）=0，解得a=1；
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時(shí)f（x）在x=1處取得極值，所以a=1．（3分）
（2）證明：由（1）知，f（x）=x²-x-lnx．
令g(x)=f(x)-(-

x3

3

+

5x2

2

-4x+

11

6

)=

x3

3

-

3x2

2

+3x-lnx-

11

6

，
由g′(x)=x2-3x+3-

1

x

=

x3-1

x

-3(x-1)=

(x-1)3

x

(x＞0)，
可知g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以g（x）≥g（1）=0，所以f(x)≥-

x3

3

+

5x2

2

-4x+

11

6

成立；（8分）
（3）解：由x∈[e，+∞）知，x+lnx＞0，
所以f（x）≥0恒成立等價(jià)于a≤

x2

x+lnx

在x∈[e，+∞）時(shí)恒成立，
令h(x)=

x2

x+lnx

，x∈[e，+∞），有h′(x)=

x(x-1+2lnx)

(x+lnx)2

＞0，
所以h（x）在[e，+∞）上是增函數(shù)，有h(x)≥h(e)=

e2

e+1

，所以a≤

e2

e+1

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述原函數(shù)的單調(diào)性、極值的情況．本小題對(duì)考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求．