Question

設函數(shù)f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|（a∈R）．
（1）若a為大于等于

3

2

的常數(shù)，求函數(shù)f（x）的最小值，并記為m（a）；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值大于3，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,壓軸題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）討論去絕對值號函數(shù)f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，x＞1-a (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，x≤1-a

，從而分別求最小值，再利用分段函數(shù)求最小值；
（2）討論去絕對值號函數(shù)f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，x＞1-a (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，x≤1-a

，再根據(jù)二次函數(shù)的單調性及分段函數(shù)的單調性從而求函數(shù)的最小值，再令最小值大于3，從而求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，x＞1-a (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，x≤1-a

，
∵a≥

3

2

，∴1-a≤-

1

2

；
當x＞1-a時，f（x）_min=f（-

1

2

）=（a+1）²+a-

5

4

，
當x≤1-a時，f（x）_min=f（1-a）=2+2a²，
又2+2a²-[（a+1）²+a-

5

4

]=（a-

3

2

）²≥0，
∴m（a）=（a+1）²+a-

5

4

；
（2）函數(shù)f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，x＞1-a (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，x≤1-a

，
①當1-a≤-

1

2

，即a≥

3

2

時，
f（x）_min=f（-

1

2

）=（a+1）²+a-

5

4

＞3，
解得，a＜-

3+ 22

2

或a＞

-3+ 22

2

；
故a≥

3

2

；
②當-

1

2

＜1-a＜

1

2

，即

1

2

＜a＜

3

2

時，
f（x）_min=f（1-a）=2+2a²＞3；
解得，a＞

2

2

或a＜-

2

2

；
故

2

2

＜a＜

3

2

；
③當1-a≥

1

2

，即a≤

1

2

時，
f（x）_min=f（

1

2

）=（a+1）²-a+

3

4

＞3，
解得，a＜-

1+ 6

2

或a＞

-1+ 6

2

；
故a＜-

1+ 6

2

；
綜上所述，a＜-

1+ 6

2

或a＞

2

2

．

點評：本題考查了絕對值函數(shù)的化簡與段函數(shù)的最值的求法，同時考查了分類討論的數(shù)學思想應用屬于難題．