Question

已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并確定a，b，c為何值時，等號成立．

 

Answer 1

見解析

【解析】法一：因為a、b、c均為正數(shù)，由平均值不等式得

a2＋b2＋c2≥3(abc)，①

≥3(abc)－，②

所以2≥9(abc)－.

故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.

又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③

所以原不等式成立．

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，①式和②式等號成立．

當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)＝9(abc)－時，③式等號成立．

即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時，原式等號成立．

法二：因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①

同理≥，②

故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③

所以原不等式成立，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．

即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時，原式等號成立．