Question

（2013•成都二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（l，2），若P是拋物線 y²=2x上一動(dòng)點(diǎn)，則P到y(tǒng)軸的距離與P到點(diǎn)A的距離之和的最小值為（　�。�

• A．

  5

• B．

  17

  2

• C．-

  17 +1

  2

• D．

  17 -1

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意算出拋物線的焦點(diǎn)為F（

1

2

，0），準(zhǔn)線l方程為x=-

1

2

．設(shè)點(diǎn)P在y軸上的射影為Q點(diǎn)，延長(zhǎng)PQ交準(zhǔn)線l于點(diǎn)B，連結(jié)PF，根據(jù)拋物線的定義得|PQ|+|PA|=|PB|+|PA|-

1

2

=|PF|+|PA|-

1

2

，再由|PF|+|PA|≥|AF|得當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|+|PA|取得最小值，結(jié)合坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，即可得P到y(tǒng)軸的距離與P到點(diǎn)A的距離之和的最小值．

解答：解：∵拋物線的方程為 y²=2x，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（

1

2

，0），準(zhǔn)線l方程為x=-

1

2

設(shè)點(diǎn)P在y軸上的射影為Q點(diǎn)，延長(zhǎng)PQ交準(zhǔn)線l于點(diǎn)B，連結(jié)PF
則PQ長(zhǎng)即為點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，可得|PB|=|PQ|+

1

2

，
根據(jù)拋物線的定義，得|PB|=|PF|
∴|PQ|+|PA|=|PB|+|PA|-

1

2

=|PF|+|PA|-

1

2

，
根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得|PF|+|PA|≥|AF|，得|PQ|+|PA|≥|AF|-

1

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立
∵|AF|=

(1- 1 2 )2+(2-0)2

=

17

2

-

1

2

=

17 -1

2

∴當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|+|PA|的最小值為

17 -1

2

即P到y(tǒng)軸的距離與P到點(diǎn)A的距離之和的最小值為

17 -1

2

故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線上動(dòng)點(diǎn)P和定點(diǎn)A（1，2），求P到y(tǒng)軸的距離與P到點(diǎn)A的距離之和的最小值．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．