Question

已知橢圓上的任意一點(diǎn)到它兩個(gè)焦點(diǎn)（-c，0），（c，0）的距離之和為，且它的焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M不在圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題，橢圓中，，∴
而a²=b²+c²，∴b²=1
故橢圓C的方程為；
（Ⅱ）直線x-y+m=0與橢圓方程聯(lián)立，可得3x²+4mx+2m²-2=0
由△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，可得
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），則x₁+x₂=-，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=
∴AB中點(diǎn)M（）
∵線段AB的中點(diǎn)M不在圓內(nèi)，
∴
∴m≤-1或m≥1
∵
∴或．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓上的任意一點(diǎn)到它兩個(gè)焦點(diǎn)（-c，0），（c，0）的距離之和為，且它的焦距為2，建立方程，可求幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理確定線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用線段AB的中點(diǎn)M不在圓內(nèi)，及判別式，即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，聯(lián)立方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．