Question

【題目】設(shè)， .

（1）若，證明： 時， 成立；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）證明不等式問題，一般轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)最值問題：即的最大值小于零，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性，再得最大值，最后證明最大值小于零.（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域上解的情況分類討論，一般分為一次與二次，根有與無，兩根大與小，最后進行小結(jié).

試題解析：

（1）當(dāng)時， ，要證時成立，由于，

只需證在時恒成立，

令，則，

設(shè)， ， ，

在上單調(diào)遞增， ，即，

在上單調(diào)遞增， ，

當(dāng)時， 恒成立，即原命題得證.

（2）的定義域為， ，

①當(dāng)時， 解得或； 解得，

所以函數(shù)在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時， 對恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時， 解得或； 解得，

所以函數(shù)在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

④當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

⑤當(dāng)， ， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上， ， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

， 在上單調(diào)遞增；

， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.