【題目】已知橢圓:與軸的正半軸相交于點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn),且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,若直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn).
(1)直線(xiàn)的斜率之積是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)求的面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:第1)由基本量求出橢圓方程后,利用“設(shè)而不求”的思想,將用,表示,也就是用表示,最終化出定值;
(2)將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
所以,,,所以,
所以橢圓:,點(diǎn).
將直線(xiàn)代入橢圓的方程,
整理得:,(*)
設(shè),則由(*)式可得
,
所以,,,
所以直線(xiàn)的斜率之積
所以直線(xiàn)的斜率之積是定值.
(2)記直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,
則
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.
所以的面積的最大值為.
點(diǎn)晴:本題主要考查橢圓基本量的計(jì)算,直線(xiàn)與橢圓相交中的定值、最值問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第(1)問(wèn)由基本量求出橢圓方程后,利用“設(shè)而不求”的思想,將用,表示,也就是用表示,最終化出定值;第(2)問(wèn)將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值;
(2)令,若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)且,又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿(mǎn)足條件.證明:<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于的方程,給出下列四個(gè)判斷:
①存在實(shí)數(shù),使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;
②存在實(shí)數(shù),使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根;
③存在實(shí)數(shù),使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根;
④存在實(shí)數(shù),使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根;
其中正確的為________(寫(xiě)出所有判斷正確的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明函數(shù)在是單調(diào)函數(shù);
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,求的值;
(3)設(shè),是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn),記線(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,證明直線(xiàn)的斜率 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線(xiàn)與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)證明除切點(diǎn)外,直線(xiàn)總在函數(shù)的圖像的上方;
(3)設(shè)是兩兩不相等的正實(shí)數(shù),且成等比數(shù)列,試判斷與的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,F,F1分別是AC,A1C1的中點(diǎn).
求證:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某投資人欲將5百萬(wàn)元獎(jiǎng)金投入甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品,根據(jù)銀行預(yù)測(cè),甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品的收益與投入獎(jiǎng)金的關(guān)系式分別為,其中為常數(shù)且.設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入獎(jiǎng)金百萬(wàn)元,其中.
(1)當(dāng)時(shí),如何進(jìn)行投資才能使得總收益最大;(總收益)
(2)銀行為了吸儲(chǔ),考慮到投資人的收益,無(wú)論投資人獎(jiǎng)金如何分配,要使得總收益不低于,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x-+a(2-ln x)(a>0),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).
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