【題目】已知橢圓軸的正半軸相交于點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn),且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,若直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)

(1)直線(xiàn)的斜率之積是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)求的面積的最大值.

【答案】(1);(2).

【解析】試題分析:第1)由基本量求出橢圓方程后,利用“設(shè)而不求”的思想,將,表示,也就是用表示,最終化出定值;

(2)將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.

試題解析:(1)因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

所以,,,所以,

所以橢圓,點(diǎn).

將直線(xiàn)代入橢圓的方程,

整理得:,(*)

設(shè),則由(*)式可得

,

所以,,

所以直線(xiàn)的斜率之積

所以直線(xiàn)的斜率之積是定值.

(2)記直線(xiàn)軸的交點(diǎn)為,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.

所以的面積的最大值為.

點(diǎn)晴:本題主要考查橢圓基本量的計(jì)算,直線(xiàn)與橢圓相交中的定值、最值問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第(1)問(wèn)由基本量求出橢圓方程后,利用“設(shè)而不求”的思想,將,表示,也就是用表示,最終化出定值;第(2)問(wèn)將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.

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(1)若,證明: 時(shí), 成立;

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(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)上的最大值;

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①存在實(shí)數(shù),使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;

②存在實(shí)數(shù),使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根;

③存在實(shí)數(shù),使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根;

④存在實(shí)數(shù),使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根;

其中正確的為________(寫(xiě)出所有判斷正確的序號(hào)).

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【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí),證明函數(shù)是單調(diào)函數(shù);

(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,求的值;

(3)設(shè),是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn),記線(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,證明直線(xiàn)的斜率

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【題目】已知直線(xiàn)與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)證明除切點(diǎn)外,直線(xiàn)總在函數(shù)的圖像的上方;

(3)設(shè)是兩兩不相等的正實(shí)數(shù),且成等比數(shù)列,試判斷的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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