Question

14．記集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=$\{\frac{a_1}{7}+\frac{a_2}{7^2}+\frac{a_3}{7^3}+\frac{a_4}{7^4}|{a_i}∈T，i=1，2，3，4\}$，將M中的元素按從大到小的順序排成數(shù)列{b_i}，并將b_i按如下規(guī)則標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系的格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）處：點(diǎn)（1，0）處標(biāo)b₁，點(diǎn)（1，-1）處標(biāo)b₂，點(diǎn)（0，-1）處標(biāo)b₃，點(diǎn)（-1，-1）處標(biāo)b₄，點(diǎn)（-1，0）標(biāo)b₅，點(diǎn)（-1，1）處標(biāo)b₆，點(diǎn)（0，1）處標(biāo)b₇，…，以此類推．
（Ⅰ）標(biāo)b₅₀處的格點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）；
（Ⅱ） b₅₀=$\frac{6}{7}+\frac{5}{7^2}+\frac{6}{7^3}+\frac{6}{7^4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖形，格點(diǎn)的連線呈周期性過橫軸，研究每一周的格點(diǎn)數(shù)及每一行每一列格點(diǎn)數(shù)的變化，得出規(guī)律即可．
（Ⅱ）根據(jù)題意，將M中的元素按從大到小的順序排成數(shù)列b_i，分子分別為6，6，6，6；6，6，6，5；6，6，6，4；6，6，6，3；6，6，6，2，…，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）從橫軸上的點(diǎn)開始點(diǎn)開始計(jì)數(shù)，從b₁開始計(jì)數(shù)第一周共9個(gè)格點(diǎn)，除了四個(gè)頂點(diǎn)外每一行第一列各有一個(gè)格點(diǎn)，外加一個(gè)延伸點(diǎn)第二周從b₁₀開始計(jì)，除了四個(gè)頂點(diǎn)的四個(gè)格點(diǎn)外，每一行每一列有三個(gè)格點(diǎn)，外加一個(gè)延伸點(diǎn)共17個(gè)，拐彎向下到達(dá)橫軸前的格點(diǎn)補(bǔ)開始點(diǎn)的上面以補(bǔ)足起始點(diǎn)所在列的個(gè)數(shù)，
由此其規(guī)律是后一周是前一周的格點(diǎn)數(shù)加上8×（周數(shù)-1）．
令周數(shù)為t，各周的點(diǎn)數(shù)和為S_t=9+8（t-1）=8t+1，每一行（或列）除了端點(diǎn)外的點(diǎn)數(shù)與周數(shù)的關(guān)系是b=2t-1；
由于S₁=9，S₂=17，S₃=25，S₄=33，由于9+17+25=51，第50個(gè)格點(diǎn)應(yīng)在第三周的倒數(shù)第二個(gè)點(diǎn)上，故其坐標(biāo)為（4，2）．
（Ⅱ）根據(jù)題意，將M中的元素按從大到小的順序排成數(shù)列b_i，分子分別為6，6，6，6；6，6，6，5；6，6，6，4；6，6，6，3；6，6，6，2，…，所以b₅₀=$\frac{6}{7}+\frac{5}{7^2}+\frac{6}{7^3}+\frac{6}{7^4}$．
故答案為：（4，2）；$\frac{6}{7}+\frac{5}{7^2}+\frac{6}{7^3}+\frac{6}{7^4}$

點(diǎn)評 本題考查歸納推理，歸納推理是由特殊到一般的推理，求解本題的關(guān)鍵是從特殊數(shù)據(jù)下手，找出規(guī)律，總結(jié)出所要的表達(dá)式．