如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=,

(1)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC與平面ABCD所成的角的余弦值.

解析：(1)因?yàn)锳D、AB、AS是三條兩兩互相垂直的線段，故以A為原點(diǎn)，分別以AD、AB、AS的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系，則A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1),AD=(,0,0)是平面SAB的法向量.設(shè)面SCD的法向量n=(1，λ，μ),則n·DC=(1，λ，μ)·(,1,0)= +λ=0.

∴λ=-.?

n·DS=(1,λ,μ)·(-,0,1)=-+μ=0.

∴μ=.

∴n=(1,-,).?

如以θ表示欲求二面角的值，則cosθ=cos〈, n〉,

·n=(,0,0)·(1,- ,)=,|AD|=,

n=,

∴cosθ= = =,sinθ=.

∴tanθ= = =.

∴面SCD與面SBA所成二面角的正切值為.

(2)∵是平面ABCD的法向量，設(shè)與之間的夾角為φ.

∵=++,?

∴·=·(++)= ·=1,

||=1,

||===.

∴cosφ= = =.

∴SC與平面ABCD所成角的余弦值為=.

溫馨提示：對(duì)于(2)也可借助坐標(biāo)計(jì)算線面角.像棱沒(méi)有給出的二面角大小計(jì)算問(wèn)題，用向量法解答十分方便.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD?，SA=AB=BC=1，AD=.

(1)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC與平面ABCD所成的角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=,

(1)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC與平面ABCD所成的角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖,四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=∠DAB=90°,CD=2AB,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=1,Q是PC的中點(diǎn).

（1）求證:BQ∥平面PAD;

（2）如果點(diǎn)E是線段CD中點(diǎn),求三棱錐Q—BEC的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖,四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=∠DAB=90°,CD=2AB,

PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD,Q是PC的中點(diǎn).

(1)求證:BQ∥平面PAD;

(2)探究在過(guò)BQ且與底面ABCD相交的平面中是否存在一個(gè)平面α,把四棱錐P—ABCD截成兩部分,使得其中一部分為一個(gè)四個(gè)面都是直角三角形的四面體.若存在,求平面PBC與平面α所成銳二面角的余弦值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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