【題目】已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（Ⅱ）記，請(qǐng)證明下列結(jié)論：

①若，則對(duì)任意，有；

②若，則存在實(shí)數(shù)，使.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出， 求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求的最小值；（Ⅱ） 時(shí)，可證在上單調(diào)遞增，則對(duì)任意，有， 時(shí)，兩次求導(dǎo)， 在上單調(diào)遞減，則，可證存在實(shí)數(shù)，使.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，則.

當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞增.

故.

（Ⅱ），則.

①若，由（1）知，即，

于是 ，

所以在上單調(diào)遞增，則對(duì)任意，有；

②若，令.

則在上單調(diào)遞增，且，

故存在唯一的，使，

則當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞減，

故，從而在上單調(diào)遞減，則，

即存在實(shí)數(shù)，使.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以下命題中，正確命題的序號(hào)是 ． ①函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；
②函數(shù)y=2sin（2x+ ）的圖象關(guān)于x= 成軸對(duì)稱；
③已知 =（3，4）， =﹣2，則向量 在向量 的方向上的投影是﹣
④如果函數(shù)f（x）=ax2﹣2x﹣3在區(qū)間（﹣∞，4）上是單調(diào)遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0， ]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是由個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作，其中

稱為數(shù)組的“元”， 稱為的下標(biāo)，如果數(shù)組中的每個(gè)“元”都是來自數(shù)組

中不同下標(biāo)的“元”，則稱為的子數(shù)組，定義兩個(gè)數(shù)組和

的關(guān)系數(shù)為；

（1）若， ，設(shè)是的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，求

的最大值；

（2）若， ，且， 為的含有三個(gè)“元”

的子數(shù)組，求的最大值；

（3）若數(shù)組中的“元”滿足，設(shè)數(shù)組 含有

四個(gè)“元”，且，求與的所有含有三個(gè)“元”

的子數(shù)組的關(guān)系數(shù)的最大值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中， ， ， 是的中點(diǎn)，△是等腰三角形， 為的中點(diǎn)， 為上一點(diǎn)；

（1）若∥平面，求；

（2）平面將三棱柱分成兩個(gè)部分，求含有點(diǎn)的那部分體積；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)fA（x）的定義域?yàn)锳=[a，b），且fA（x）=（ + ﹣1）2﹣ +1，其中a，b為任意正實(shí)數(shù)，且a＜b．
（1）求函數(shù)fA（x）的最小值和最大值；
（2）若x1∈Ik=[k2 ， （k+1）2），x2∈Ik+1=[（k+1）2 ， （k+2）2），其中k是正整數(shù)，對(duì)一切正整數(shù)k，不等式 （x1）+ （x2））＜m都有解，求m的取值范圍；
（3）若對(duì)任意x1 ， x2 ， x3∈A，都有 ， ， 為三邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，求 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的值；
（2）若c=4，a+b=7，求S△ABC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（文）已知點(diǎn)D（1， ）在雙曲線C： =1（a＞0，b＞0）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是 x+y=0．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點(diǎn)（0，1）且斜率為k的直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)（2）中直線l與雙曲線C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，其圖象如下圖，和圖象吻合的函數(shù)解析式是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖①，在矩形中， ， 是的中點(diǎn)，將三角形沿翻折到圖②的位置，使得平面 平面.

（1）在線段上確定點(diǎn)，使得平面，并證明；

（2）求與所在平面構(gòu)成的銳二面角的正切值.

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