Question

9．已知橢圓C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1有相同的焦點，且橢圓C的離心率為e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l：y=$\frac{1}{2}$（x-3）與橢圓C交于不同的兩點P，Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C的右焦點為F，求△PFQ的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得雙曲線的焦點，可得c=$\sqrt{3}$，運用離心率公式和a，b，c的關系，可得a，b的值，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）求得橢圓的右焦點，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，由點到直線的距離公式，運用三角形的面積公式，計算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）因為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的焦點為（±$\sqrt{3}$，0），
所以由題意得a²=b²+3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，
 解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{3}$，
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x-3）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=6}\end{array}\right.$得x²-2x-1=0．
由直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，
設P，Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
即有△=8，x₁+x₂=2，x₁x₂=-1，
則|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{4+4}$=$\sqrt{10}$，
右焦點F（$\sqrt{3}$，0）到直線l的距離d=$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，
則△PFQ的面積為$\frac{1}{2}$•$\sqrt{10}$•$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查三角形的面積的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用弦長公式和點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．