Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF²-PB²=4，求點(diǎn)P的軌跡；
（2）設(shè)${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由兩點(diǎn)距離公式將PF²-PB²=4，變成坐標(biāo)表示式，整理即得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）將${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$分別代入橢圓方程，解出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出直線AM與直線BN的方程，聯(lián)立解出交點(diǎn)T的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）．
由PF²-PB²=4，得（x-2）²+y²-[（x-3）²+y²]=4，
化簡(jiǎn)得x=$\frac{9}{2}$．
故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x=$\frac{9}{2}$；
（2）將${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$分別代入橢圓方程，以及y₁＞0，y₂＜0，
得M（2，$\frac{5}{3}$）、N（$\frac{1}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
直線MTA方程為：$\frac{y-0}{\frac{5}{3}-0}=\frac{x+3}{2+3}$，即y=$\frac{1}{3}$x+1，
直線NTB方程為：$\frac{y-0}{-\frac{20}{9}-0}=\frac{x-3}{\frac{1}{3}-3}$，即y=$\frac{5}{6}$x-$\frac{5}{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+1}\\{y=\frac{5}{6}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
點(diǎn)T的坐標(biāo)為（7，$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力，是中檔題．