Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線x²-5y²=5的兩焦點，點P在雙曲線上，且△F₁PF₂的面積為

3

，則∠F₁PF₂的大小為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的定義、三角形的面積、余弦定理建立方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：雙曲線x²-5y²=5可化為：

x2

5

-y²=1，
則a=

5

，b=1，c=

6

，
設(shè)∠F₁PF₂=α，|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，則m-n=2

5

①，
∵△F₁PF₂的面積為

3

，
∴

1

2

mnsinα=

3

②，
又∵24=m²+n²-2mncosα③，
由①②③，由配方消去m，n，可得

1-cosα

sinα

=

3

3

，
即

2sin2 α 2

2sin α 2 cos α 2

=

3

3

，即有tan

α

2

=

3

3

，
可得α=

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)、三角形面積的計算．要靈活運用雙曲線的定義及焦距、實軸、虛軸等之間的關(guān)系．