Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{kn+b}{{2}^{n}}$+k（n∈N^*）．
（Ⅰ）若k=0，b=1，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若k=1，b=0，求證：當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＞3-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若k=0，b=1，利用疊乘法求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答 （Ⅰ）解：k=0，b=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴n≥2，a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1•$\frac{1}{2}$•…•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=${2}^{\frac{n（1-n）}{2}}$，
n=1時(shí)，結(jié)論也成立，
∴a_n=${2}^{\frac{n（1-n）}{2}}$；
（Ⅱ）證明：k=1，b=0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$+1，∴a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{9}{4}$
n=3時(shí)，左邊=$\frac{9}{4}$，右邊=3-$\frac{4}{4}$=2，不等式成立；
設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k＞3-$\frac{k+1}{{2}^{k-1}}$，
則n=k+1時(shí)，a_k+1＞（$\frac{k}{{2}^{k}}$+1）（3-$\frac{k+1}{{2}^{k-1}}$）=3-$\frac{k+1}{{2}^{k-1}}$+$\frac{3k}{{2}^{k}}$-$\frac{k（k+1）}{{2}^{2k-1}}$＞3-$\frac{k+2}{{2}^{k}}$，
綜上可得，當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＞3-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查疊乘法，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．