Question

9．平面內(nèi)有n（n∈N^*，n≥2）條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，證明交點(diǎn)的個數(shù)f（n）=$\frac{n（n-1）}{2}$．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）當(dāng)n=2時，兩條直線的交點(diǎn)只有一個，又f（2）=$\frac{1}{2}$×2×（2-1）=1，
∴當(dāng)n=2時，命題成立．
（2）假設(shè)n=k∈N^*，且（k＞2）時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線交點(diǎn)個數(shù)f（k）=$\frac{1}{2}$k（k-1），
那么，當(dāng)n=k+1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線交點(diǎn)個數(shù)為f（k）=$\frac{1}{2}$k（k-1），l與其他k條直線交點(diǎn)個數(shù)為k，從而k+1條直線共有f（k）+k個交點(diǎn)，
即f（k+1）=f（k）+k=$\frac{1}{2}$k（k-1）+k=$\frac{1}{2}$k（k-1+2）=$\frac{1}{2}$k（k+1）=$\frac{1}{2}$（k+1）[（k+1）-1]，
這表明，當(dāng)n=k+1時，命題成立．
由（1）、（2）可知，對n∈N^*（n≥2）命題都成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，證明n=k+1時結(jié)論成立是關(guān)鍵．