Question

6．已知拋物線C：y²=4x，以M（1，2）為直角頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接直角三角形MAB，若直線AB過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-2）．

Answer 1

分析 設(shè)A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$．利用$\overrightarrow{MA}⊥\overrightarrow{MB}$，可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，化為y₁y₂+2（y₁+y₂）+20=0．代入直線AB的方程為：y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}）$，化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：設(shè)A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$．
∵$\overrightarrow{MA}⊥\overrightarrow{MB}$，
$\overrightarrow{MA}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1，{y}_{1}-2）$，$\overrightarrow{MB}$=$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1，{y}_{2}-2）$．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1）（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1）+（{y}_{1}-2）（{y}_{2}-2）$=0，
化為y₁y₂+2（y₁+y₂）+20=0．
直線AB的方程為：y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}）$，
化為：（y₁+y₂）y-y₁y₂=4x．
令y=-2，則20=4x，解得x=5．
∴直線AB過定點(diǎn)P（5，-2）．
故答案為：（5，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點(diǎn)斜式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．