Question

已知集合A={-1，0，1}，對(duì)于數(shù)列{a_n}中a_i∈A（i=1，2，3，…，n）．
（Ⅰ）若三項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃=0，則這樣的數(shù)列{a_n}有多少個(gè)？
（Ⅱ）若各項(xiàng)非零數(shù)列{a_n}和新數(shù)列{b_n}滿足首項(xiàng)b₁=0，b_i-b_i-1=a_i-1（i=2，3，…，n），且末項(xiàng)b_n=0，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意知1和-1必須成對(duì)出現(xiàn)，故只有兩種可能．當(dāng)三項(xiàng)均為0時(shí)，排列數(shù)為1，這樣的數(shù)列只有1個(gè)．當(dāng)三若中有1個(gè)0時(shí)，那另兩個(gè)必為1和-1，三個(gè)數(shù)全排列數(shù)為6，所以這樣的數(shù)列共有7個(gè)．
（Ⅱ）根據(jù)b_i-b_i-1=a_i-1且b₁=0，由累加法得b_i=a₁+a₂+…+a_{i-1（i=1，2，3，…，n）}，由此能求出S_n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）滿足a₁+a₂+a₃=0有兩種情形：
0+0+0=0，這樣的數(shù)列只有1個(gè)；
1+（-1）+0=0，這樣的數(shù)列有6個(gè)．
∴符合題意的數(shù)列{a_n}有1+6=7個(gè)．
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}滿足首項(xiàng)b₁=0，b_i-b_i-1=a_i-1（i=2，3，…，n），
∴b_i=a₁+a₂+…+a_{i-1（i=1，2，3，…，n）}，
∵由題意知末項(xiàng)b_n=0，∴a₁+a₂+…+a_n-1=0，
∵a_i∈{-1，1}，∴n為正奇數(shù)，且a₁，a₂，a₃，…，a_n-1中有

n-1

2

個(gè)1和

n-1

2

個(gè)-1，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=0+a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（n-1）a₁+（n-2）a2 +…+a_n-1，
要求S_n的最大值，則要求a₁，a₂，…，a_n-1的前

n-1

2

項(xiàng)取1，
后

n-1

2

項(xiàng)取-1，
∴（S_n）_max=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+（-3）+（-2）+（-1）
=（n-2）+（n-4）+（n-6）+…+1=

(n-1)2

4

．
∴（S_n）_max=

(n-1)2

4

．（n為正奇數(shù)）

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．