Question

設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F₁PF₂為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值，Rt△PF₁F₂ 中，利用邊角關(guān)系，建立a、c 之間的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
設(shè)點(diǎn)P（c，h），則

c2

a2

+

h2

b2

=1，
h²=b²-

b2c2

a2

=

b4

a2

，∴|h|=

b2

a

，
由題意得∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=45°，
Rt△PF₁F₂ 中，tan45°=1=

PF2

F1F2

=

PF2

2c

=

|h|

2c

=

b2

2ac

=

a2-c2

2ac

，
∴a²-c²=2ac，(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0，∴

c

a

=

2

-1，
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．橢圓的離心率是高考中選擇填空題�？嫉念}目．應(yīng)熟練掌握圓錐曲線中a，b，c和e的關(guān)系．