Question

已知以T=4為周期的函數(shù)f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時(shí)，f（x）的圖象為半個(gè)橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則需直線y=與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)橢圓不公共點(diǎn)．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．
解答：解：∵當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，將函數(shù)化為方程x²+=1（y≥0），
∴實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖象如圖所示，
同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，
由圖易知直線 y=與第二個(gè)橢圓（x-4）²+=1（y≥0）相交，
而與第三個(gè)半橢圓（x-8）²+=1 （y≥0）無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，
將 y=代入（x-4）²+=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m，
同樣由 y=與第三個(gè)橢圓（x-8）²+=1 （y≥0）由△＜0可計(jì)算得 m＜，
綜上可知m∈（，）
故答案為：（，）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性．采用了數(shù)形結(jié)合的方法，很直觀．