Question

已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，o為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足等式

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

](λ∈R且λ≠1，則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

A．內(nèi)心

B．垂心

C．重心

D．外心

Answer 1

分析：根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則向量的運(yùn)算法則，取AB的中點(diǎn)D，對

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

](λ∈R，進(jìn)行化簡，得到

OP

=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，根據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件知道P、C、D三點(diǎn)共線，從而得到點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．

解答：解：取AB的中點(diǎn)D，則 2

OD

=

OA

+

OB

，
∵

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

](λ∈R，
∴

OP

=

1

3

[（1-λ）（2

OD

）+（1+2λ）

OC

]
=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，
而

2(1-λ)

3

+

1+2λ

3

=1，
∴P、C、D三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．
故選C．

點(diǎn)評：本小題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、三點(diǎn)共線的充要條件的應(yīng)用、三角形五心等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．