已知A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點，P為平面內(nèi)的動點，且
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)  (λ＞0)，則P的軌跡過△ABC的（　�。�
A、重心B、垂心C、內(nèi)心D、外心
分析：可先根據(jù)數(shù)量積為零求證
BC
與λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直，設(shè)D為BC的中點，令λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=
DP
，可得點P在BC的垂直平分線上，從而得到結(jié)論．
解答：解：∵
BC
•（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=-|BC|+|BC|=0
∴
BC
與λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直
設(shè)D為BC的中點，則
OB
+
OC
2
=
OD
，
令λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=
DP

∴
OB
+
OC
2
+λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=
OD
+
DP
=
OP

∴點P在BC的垂直平分線上，即P的軌跡過△ABC的外心
故選D
點評：本題主要考查了空間向量的加減法，以及三角形的五心等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足
OP
=
1
3
(
1
2
OA
+
1
2
OB
+2
OC
)，則點P一定為三角形ABC的（　�。�
A、AB邊中線的中點
B、AB邊中線的三等分點（非重心）
C、重心
D、AB邊的中點

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線上三點，O為△ABC外心，動點P滿足：
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]（λ∈R且λ≠0），則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線的三點，o為平面ABC內(nèi)任一點，動點P滿足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R且λ≠1，則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C是平面內(nèi)互異的三點，O為平面上任意一點，
OC
=x
OA
+y
OB
，求證：
（1）若A，B，C三點共線，則x+y=1；
（2）若x+y=1，則A，B，C三點共線．

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