【題目】已知拋物線x2=2py(p>0)的頂點到焦點的距離為1,過點P(0,p)作直線與拋物線交于A(x1 , y1),
B(x2 , y2)兩點,其中x1>x2 .
(1)若直線AB的斜率為 ,過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線,求圓C的方程;
(2)若 =λ ,是否存在異于點P的點Q,使得對任意λ,都有 ⊥( ﹣λ ),若存在,求Q點坐標;不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:由已知得p=2,直線和y軸交于點(0,2),
則直線AB的方程為y﹣2= x,即x﹣2y+4=0,
由 得A,B的坐標分別為(4,4),(﹣2,1),
又由x2=4y,得到y(tǒng)= x2,
∴y′= x,
∴拋物線拋物線在點A處切線的斜率為2,
設圓C的方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,
則 ,
解得a=﹣1,b= ,r2= ,
∴圓的方程為(x+1)2+(y﹣ )2= ,
即為x2+y2+2x﹣13x+12=0
(2)解:依題意可設直線AB的方程為y=kx+2,代入拋物線方程x2=4y得x2﹣4kx﹣8=0,
∴x1x2=﹣8,①,
由已知 =λ 得﹣x1=λx2,
若k=0,這時λ=1,要使 ⊥( ﹣λ ),Q點必在y軸上,
設點Q的坐標是(0,m),從而 =(0,2﹣m),
﹣λ =(x1,y1﹣m)﹣λ(x2,y2﹣m)=(x1﹣λx2,y1﹣m﹣λ(y2﹣m))
∴ ( ﹣λ )=(2﹣m)[y1﹣λy2﹣m(1﹣λ)]=0,
∴y1﹣λy2﹣m(1﹣λ)=0,
即 + ﹣m(1+ )=0,
即 (x1+x2)(x1x2﹣4m)=0,將①代入得m=﹣2,
∴存在點Q(0,﹣2)使得 ⊥( ﹣λ )
【解析】(1)先求出p的值,再求出直線方程,求出A,B的坐標,根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,設圓C的方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 , 利用待定系數(shù)法解得即可,(2)依題意可設直線AB的方程為y=kx+2,代入拋物線方程x2=4y,根據(jù)未達定理得到x1x2=﹣8,若k=0,這時λ=1,設點Q的坐標是(0,m),利用向量的坐標運算和向量的垂直的條件得到即 (x1+x2)(x1x2﹣4m)=0,代入計算即可求出m的值.
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【題目】如圖所示的多面體是由一個以四邊形ABCD為地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成,若AD=DC=2,AB=BC=2 ,∠DAB=∠BCD=90°,且AA1=CC1= ;
(1)求二面角D1﹣A1B﹣A的大;
(2)求此多面體的體積.
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【題目】設O是坐標原點,橢圓C:x2+3y2=6的左右焦點分別為F1 , F2 , 且P,Q是橢圓C上不同的兩點,
(1)若直線PQ過橢圓C的右焦點F2 , 且傾斜角為30°,求證:|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列;
(2)若P,Q兩點使得直線OP,PQ,QO的斜率均存在.且成等比數(shù)列.求直線PQ的斜率.
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【題目】為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系,以9點與3點所在直線為x軸,以6點與12點為y軸,設秒針針尖指向位置P(x,y),若初始位置為P0( , ),秒針從P0(注此時t=0)開始沿順時針方向走動,則點P的縱坐標y與時間t(秒)的函數(shù)關系為( )
A.y=sin( t+ )
B.y=sin( t﹣ )
C.y=sin(﹣ t+ )
D.y=sin(﹣ t﹣ )
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【題目】如圖,正方形ABCD邊長為2,以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點F,連結CF并延長交AB于點E.
(1)求證:AE=EB;
(2)求EFFC的值.
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【題目】2017年,在國家創(chuàng)新驅動戰(zhàn)略下,北斗系統(tǒng)作為一項國家高科技工程,一個開放型的創(chuàng)新平臺,1400多個北斗基站遍布全國,上萬臺套設備組成星地“一張網(wǎng)”,國內定位精度全部達到亞米級,部分地區(qū)達到分米級,最高精度甚至可以達到厘米或毫米級。最近北斗三號工程耗資9萬元建成一小型設備,已知這臺設備從啟用的第一天起連續(xù)使用,第天的維修保養(yǎng)費為元,使用它直至“報廢最合算”(所謂“報廢最合算”是指使用這臺儀器的平均每天耗資最少)為止,一共使用了多少天,平均每天耗資多少錢?
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【題目】如圖在長為10千米的河流的一側有一條觀光帶,觀光帶的前一部分為曲線段,設曲線段為函數(shù)(單位:千米)的圖象,且圖象的最高點為;觀光帶的后一部分為線段.
(1)求函數(shù)為曲線段的函數(shù)的解析式;
(2)若計劃在河流和觀光帶之間新建一個如圖所示的矩形綠化帶,綠化帶僅由線段構成,其中點在線段上.當長為多少時,綠化帶的總長度最長?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=|x|﹣2|x+3|.
(1)解不等式f(x)≥2;
(2)若存在x∈R使不等式f(x)﹣|3t﹣2|≥0成立,求參數(shù)t的取值范圍.
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