Question

已知函數f （x）=log_a x （a＞0且a≠1），若數列：2，f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），2n+4 （n∈N^﹡）為等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若a=2，b_n=a_n•f （a_n），求數列{b_n}前n項和S_n；
（3）在（2）的條件下對任意的n∈N^﹡，都有b_n＞f ^-1（t），求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由數列：2，f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），2n+4 （n∈N^﹡）為等差數列．可得出2n+4=2+（n+2-1）d求得：d=2，由此可求出f （a_n），進而即可求出數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若a=2，b_n=a_n•f （a_n），可先解出b_n=a_n•f （a_n）=（2n+2）a²ⁿ⁺²=（n+1）•a²ⁿ⁺³，由此通項公式的形式知，可用錯位相減法求得數列{b_n}前n項和S_n；
（3）在（2）的條件下對任意的n∈N^﹡，都有b_n＞f ^-1（t），故可由

bn+1

bn

=

n+2

n+1

•4＞1，得出數列是一個遞增的數列，由此得出b_n的最小值，令最小值大于f ^-1（t），解此不等式即可得出實數t的取值范圍

解答：解：（1）由題意2n+4=2+（n+2-1）d求得：d=2，
所以f （a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，求得：a_n=a²ⁿ⁺²．（4分）
（2）b_n=a_n•f （a_n）=（2n+2）a²ⁿ⁺²=（n+1）•a²ⁿ⁺³
S_n=2•2⁵+3•2⁷+4•2⁹+…+（n+1）•2²ⁿ⁺³，
4S_n=2•2⁷+3•2⁷+4•2¹¹+…+（n+1）•2^2（n+1）+3，
錯位相減得：
S_n=

(3n+2)×22n+5-26

9

（8分）
（3）∵

bn+1

bn

=

n+2

n+1

•4＞1，
∴{ b_n }為遞增數列．b_n中的最小項為：b₁=2•2⁵=2⁶，f^-1（t）=2^t，
對任意的n∈N^﹡，都有b_n＞f ^-1（t），可得2⁶＞2^t，
∴t＜6．（14分）

點評：本師考查等差數列的性質與等比數列的性質，數列單調性，解不等式，錯位相減法求和，綜合性強，解題的關鍵是將題設中的問題正確轉化，熟練運用等差等比數列的性質及錯位相減法是解題的重點．