Question

已知函數(shù)f（x）=x²+1，且g（x）=f[f（x）]，G（x）=g（x）-λf（x），
（1）試問是否存在實數(shù)λ，使得G（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，并且在（-1，0）上為增函數(shù)，若不存在，理由．    
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，求G（x）的最小值h（λ）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意求得 g（x）的解析式，可得G（x）=g（x）-λf（x）的解析式，設(shè)x₁＜x₂，求得G（x₁）-G（x₂）=(x1+x2)(x1-x2)[x12+x22+(2-λ)]．根據(jù)題意得，當(dāng)x₁＜x₂＜-1時，G（x₁）-G（x₂）≥0，求得λ≤4．當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜0時，G（x₁）-G（x₂）≤0，求得λ≥4，綜合可得λ的值．
（2）由于G（x）=(x2+1-

λ

2

)2+1-

λ2

4

，當(dāng)x∈[-1，1]時，0≤x²≤1，分類討論，求得G（x）的最小值h（λ）．

解答： （1）解：由題意可得 g（x）=f[f（x）]=f（x²+1）=（x²+1）²+1=x⁴+2x²+2，
G（x）=g（x）-λf（x）=x⁴+2x²+2-λx²-λ=x⁴+（2-λ）x²+（2-λ），
設(shè)x₁＜x₂，則G（x₁）-G（x₂）=[x14+(2-λ)x12+(2-λ)]-[x24+(2-λ)x22+(2-λ)]=(x1+x2)(x1-x2)[x12+x22+(2-λ)]，
當(dāng)x₁＜x₂＜-1時，則有（x₁-x₂）（x₁+x₂）＞0，x12+x22+（2-λ）＞1+1+2-λ=4-λ≥0，求得λ≤4．
當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜0時，則有（x₁-x₂）（x₁+x₂）＞0，x12+x22+（2-λ）＜1+1+2-λ=4-λ≤0，求得λ≥4，故λ=4．
（2）由于G（x）=g（x）-λf（x）=x⁴+2x²+2-λx²-λ=(x2+1-

λ

2

)2+1-

λ2

4

，∵當(dāng)x∈[-1，1]時，0≤x²≤1，
①當(dāng)0≤

λ

2

-1≤1時，G（x）的最小值h（λ）=1-

λ2

4

；
②當(dāng)

λ

2

-1＞1時，G（x）的最小值h（λ）=G（1）=5-2λ；
③當(dāng)

λ

2

-1＜0時，G（x）的最小值h（λ）=G（0）=2-λ．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．